E' nato a Bologna il 25 ottobre 1975. E' laureato in Giurisprudenza ed è iscritto all'Albo degli Avvocati.

All’età di quattordici anni entra nel Fronte della Gioventù, dove milita per un paio d’anni, divenendo, a soli diciassette anni, Segretario regionale del Fronte Universitario di Azione Nazionale (FUAN). Proprio a metà degli anni ’90, insieme al fratello Alessio, rifonda il FUAN, che passa da pochi iscritti (3) alla conquista per la prima volta di un posto nel Senato Accademico. Nello stesso periodo inizia la sua collaborazione con il Secolo d’Italia su questioni di politica giovanile e universitaria. Nel 1996 diventa dirigente nazionale di Azione Universitaria e, nel 2001, viene eletto all’unanimità Segretario regionale di Azione Giovani dell’Emilia Romagna.
Nel 2005, sempre a livello giovanile, è stato fra i principali artefici della vittoria di Giorgia Meloni al Congresso di Viterbo di Azione Giovani, di cui è diventato membro dell’esecutivo nazionale. Nel 2007 ha assunto anche l’incarico di Vice Presidente provinciale di Alleanza Nazionale di Bologna. Tuttavia è soprattutto nell’azione amministrativa che Galeazzo Bignami ha dedicato il suo maggior impegno.
Eletto Consigliere al Quartiere Saragozza a 18 anni, è divenuto consigliere comunale nel 1999, in occasione della storica vittoria di Giorgio Guazzaloca, con 496 preferenze.
Ottenendo la fiducia dei vertici del partito, nel 2001 è stato chiamato a ricoprire il ruolo di Capogruppo consiliare di Alleanza Nazionale del Comune di Bologna, incarico che ha ricoperto fino al termine del mandato nel 2004. Alle elezioni amministrative dello stesso anno, Bignami è stato riconfermato in Consiglio comunale ottenendo 1.710 preferenze personali ed eletto, dal Consiglio comunale, Presidente della Commissione Pianificazione Contabilità Economica e Controllo di Gestione, organo di garanzia delle minoranze consiliari.
Nel 2005 ha guidato la campagna elettorale del padre, Marcello, riconfermato Consigliere regionale con 8.000 preferenze: una performance mai raggiunta prima da un candidato bolognese di AN. Nel 2009 viene eletto, nelle file del PDL, Consigliere comunale a Bologna con oltre 2.700 preferenze personali e viene nuovamente eletto Presidente della Commissione Pianificazione Contabilità Economica e Controllo di Gestione fino alla decadenza del Consiglio comunale a causa delle dimissioni del Sindaco Delbono.
Nello stesso anno viene nominato dal Presidente Berlusconi Vice Coordinatore Vicario del PDL della Grande Città di Bologna. Alle Elezioni regionali del 2010 viene eletto Consigliere nella circoscrizione della provincia di Bologna con 13.333 preferenze personali, risultando il Consigliere regionale del PDL più votato in Emilia-Romagna.

Esercita la professione di avvocato, con particolare riferimento al diritto amministrativo e civile.